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Una ecuación lineal desconocida

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Resumen de la lección "Una ecuación lineal con una desconocida"

· Recordar los conceptos básicos asociados con ecuaciones de este tipo,

· Considere algunas tareas para aplicar el conocimiento sobre este tema.

Para empezar, recordemos que una igualdad que contiene una variable se llama ecuación variable única. La variable en la ecuación también se llama desconocido.

El valor de la variable, en el que la ecuación se convierte en una verdadera igualdad numérica, se llama la raíz (o decisión) ecuaciones.

Resuelve la ecuación - significa encontrar todas sus raíces o demostrar que no lo son.

Hagamos un simple tarea.

Responda la pregunta: ¿es el número 5 la raíz de la ecuación?

También debe tener en cuenta que las dos ecuaciones se llaman equivalentesi cada raíz de la primera ecuación es la raíz de la segunda, y viceversa, cada raíz de la segunda ecuación es la raíz de la primera, es decir, ambas ecuaciones tienen las mismas raíces.

Las ecuaciones también son equivalentes a no tienen raíces.

son equivalentes, ya que ambos tienen una raíz igual a 3.

Reemplace la ecuación con una ecuación equivalente con coeficientes enteros.

Para reemplazar esta ecuación con equivalente, pero con coeficientes enteros, multiplicamos los lados izquierdo y derecho por 10. Como resultado, obtenemos:

Ahora recuerda propiedades basicasque se usan para resolver ecuaciones.

Así que primero propiedad: si en la ecuación transferimos el término de una parte a otra, cambiando su signo a lo opuesto, obtenemos una ecuación equivalente a esta.

Segundo propiedad: si ambas partes de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, entonces obtenemos ecuaciones equivalentes a las originales.

Ahora pasemos a ecuaciones lineales con una desconocida.

Entonces ecuación lineal con una variable (con uno desconocido) es una ecuación de la forma:

donde está la variable (desconocida)

Si en la ecuación, esta ecuación se llama ecuación de primer grado.

Resolvamos la ecuación.

Son posibles tres casos.

a)

La primera ecuación es:

La siguiente ecuación:

Recuerde que las ecuaciones de este tipo tienen infinitas raíces. Entonces, la solución a la ecuación original es cualquier numero.

La siguiente ecuación:

Presta atención, no importa qué número sustituimos en, siempre obtenemos la igualdad equivocada. Por lo tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Y resolvemos la última ecuación :.

Es decir nuestra ecuación tiene raíz únicaque es igual a 6.

En esta lección cubrimos el tema «ecuación lineal con un desconocido ". Recordamos los conceptos básicos asociados con las ecuaciones de este tipo. Y también examinó algunas tareas para aplicar el conocimiento sobre este tema.

Ejemplos de resolver ecuaciones

Hoy estamos tratando con ecuaciones lineales, y solo las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contiene exactamente una variable, y va solo al primer grado.

Dichos diseños se resuelven aproximadamente igual:

  1. En primer lugar, debe abrir los corchetes, si los hay (como en nuestro último ejemplo),
  2. Entonces reunir
  3. Finalmente, aísle la variable, es decir todo lo relacionado con la variable, los términos en que está contenida, debe transferirse a un lado, y todo lo que queda sin ella debe transferirse al otro lado.

Luego, como regla, es necesario dar las similitudes a cada lado de la igualdad obtenida, y después de eso solo queda dividir por el coeficiente de "X", y obtendremos la respuesta final.

En teoría, esto se ve hermoso y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria con experiencia pueden cometer errores ofensivos en ecuaciones lineales bastante simples. Por lo general, se cometen errores al abrir los corchetes o al calcular los "más" y "menos".

Además, sucede que una ecuación lineal no tiene ninguna solución, o que la solución es la recta numérica completa, es decir cualquier número Analizaremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendió, con las tareas más simples.

Esquema de resolución de las ecuaciones lineales más simples.

Para empezar, permítanme una vez más escribir todo el esquema para resolver las ecuaciones lineales más simples:

  1. Abrimos los corchetes, si los hay.
  2. Aislamos las variables, es decir todo lo que contiene "X" se transfiere en una dirección y sin "X" en la otra.
  3. Damos términos similares.
  4. Dividimos todo por el coeficiente de "X".

Por supuesto, este esquema no siempre funciona, tiene ciertas sutilezas y trucos, y ahora los conoceremos.

Resolvemos ejemplos reales de ecuaciones lineales simples.

En el primer paso, debemos abrir los corchetes. Pero no están en este ejemplo, por lo que omitimos esta etapa. En el segundo paso, necesitamos aislar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando solo de términos individuales. Escribamos

Damos términos similares a la izquierda y a la derecha, pero aquí ya está hecho. Por lo tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por un coeficiente:

Entonces obtuvimos la respuesta.

[5 left (x + 9 right) = 5x + 45 ]

En esta tarea, podemos observar los corchetes, así que vamos a expandirlos:

Tanto a la izquierda como a la derecha, vemos aproximadamente la misma construcción, pero actuemos de acuerdo con el algoritmo, es decir. aislamos variables:

¿Cuáles son las raíces de esto? Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $ x $ es cualquier número.

La tercera ecuación lineal ya es más interesante:

[ left (6-x right) + left (12 + x right) - left (3-2x right) = 15 ]

Aquí hay varios corchetes, pero no se multiplican por nada, solo tienen diferentes signos frente a ellos. Vamos a revelarlos:

Llevamos a cabo el segundo paso que ya sabemos:

Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente de "X":

Lo que debes recordar al resolver ecuaciones lineales

Si nos distraemos de las tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:

  • Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen una solución, a veces simplemente no hay raíces,
  • Incluso si hay raíces, entre ellas se puede eliminar el cero; no hay nada de malo en eso.

Cero es el mismo número que el resto, no debe discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtiene cero, entonces hizo algo mal.

Otra característica asociada con la divulgación de paréntesis. Tenga en cuenta: cuando tienen un signo menos delante de ellos, lo eliminamos, pero cambiamos los signos entre paréntesis a opuesto. Y luego podemos abrirlo de acuerdo con algoritmos estándar: obtenemos lo que vimos en los cálculos anteriores.

Comprender este simple hecho te permitirá evitar errores estúpidos y ofensivos en la escuela secundaria, cuando la implementación de tales acciones se da por sentado.

Resolviendo ecuaciones lineales complejas

Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complicadas y surgirá una función cuadrática durante varias transformaciones. Sin embargo, uno no debe tener miedo de esto, porque si, de acuerdo con la intención del autor, resolvemos la ecuación lineal, en el proceso de conversión, todos los monomios que contienen una función cuadrática se reducirán necesariamente.

[12- left (1-6x right) x = 3x left (2x-1 right) + 2x ]

Obviamente, lo primero que debe hacer es abrir los corchetes. Hagámoslo con mucho cuidado:

[12- left (x-6x cdot x right) = 3x cdot 2x-3x + 2x ]

Ahora hagamos la soledad:

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, por lo tanto, en la respuesta, escribimos:

[8 left (2x-1 right) -5 left (3x + 0.8 right) = x-4 ]

Realizamos las mismas acciones. Primer paso:

[8 cdot 2x-8- left (5 cdot 3x + 5 cdot 0.8 right) = x-4 ]

[16x-8- left (15x + 4 right) = x-4 ]

Transferimos todo con la variable a la izquierda, y sin ella, a la derecha:

Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, por lo tanto, escribimos

o sin raíces.

Matices de solución

Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando el ejemplo de estas dos expresiones, una vez más nos convencimos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber una, o ninguna, o infinitas raíces. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones; simplemente no hay raíces en ambas.

Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con corchetes y cómo abrirlos si hay un signo menos frente a ellos. Considera esta expresión:

[12- left (1-6x right) x = 3x left (2x-1 right) + 2x ]

Antes de divulgar, debe multiplicar todo por "X". Tenga en cuenta: multiplica cada término individual. En el interior hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicados.

Y solo después de que se completen estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, puede abrir el soporte en términos del hecho de que hay un signo menos después. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que el signo menos está delante de los corchetes, lo que significa que todo lo que está en la parte inferior simplemente cambia de signo. En este caso, los corchetes desaparecen y, lo más importante, también desaparece el “menos” frontal.

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:

[8 left (2x-1 right) -5 left (3x + 0.8 right) = x-4 ]

No es casualidad que preste atención a estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Debido a que la solución de las ecuaciones es siempre una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad para realizar acciones simples de manera clara y correcta conduce al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y nuevamente aprenden a resolver ecuaciones tan simples.

Por supuesto, llegará el día, y perfeccionarás estas habilidades al automatismo. Ya no tiene que realizar tantas transformaciones cada vez, todos escribirán en una línea. Pero mientras aprende, necesita escribir cada acción por separado.

Resolviendo ecuaciones lineales aún más complejas

Lo que vamos a resolver es difícil de llamar la tarea más simple, pero el significado sigue siendo el mismo.

[ left (7x + 1 right) left (3x-1 right) -21 <^<2>>=3]

Multipliquemos todos los elementos en la primera parte:

[7x cdot 3x + 7x cdot left (-1 right) +1 cdot 3x + 1 cdot left (-1 right) -21 <^<2>>=3]

Hagamos algo de privacidad:

Realiza el último paso:

Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar del hecho de que en el proceso de resolución de los coeficientes con una función cuadrática surgieron, sin embargo, se aniquilaron mutuamente, lo que hace que la ecuación sea lineal, no cuadrada.

[ left (1-4x right) left (1-3x right) = 6x left (2x-1 right) ]

Completemos cuidadosamente el primer paso: multiplicamos cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo. En total, se deben obtener cuatro términos nuevos después de las transformaciones:

[1 cdot 1 + 1 cdot left (-3x right) + left (-4x right) cdot 1+ left (-4x right) cdot left (-3x right) = 6x cdot 2x + 6x cdot left (-1 right) ]

Y ahora, realice cuidadosamente la multiplicación en cada término:

Transferimos los términos con "X" a la izquierda y sin - a la derecha:

Damos términos similares:

Nuevamente recibimos la respuesta final.

Sobre la suma algebraica

En el último ejemplo, me gustaría recordarles a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemática clásica, por $ 1-7 $ nos referimos a una construcción simple: restamos siete de una unidad. En álgebra, queremos decir con esto lo siguiente: al número "unidad" agregamos otro número, a saber, "menos siete". Esto difiere la suma algebraica de la aritmética habitual.

Tan pronto como complete todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comience a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrá ningún problema en álgebra cuando trabaje con polinomios y ecuaciones.

En conclusión, veamos un par de ejemplos más que serán aún más complejos que los que acabamos de examinar, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.

Resolver ecuaciones de fracciones

Para resolver tales problemas, habrá que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, recordaré nuestro algoritmo:

  1. Expande los corchetes.
  2. Variables separadas
  3. Trae los gustos.
  4. Dividir por coeficiente.

Por desgracia, este maravilloso algoritmo, con toda su efectividad, no es del todo apropiado cuando tenemos fracciones. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción en ambas ecuaciones a la izquierda y a la derecha.

¿Cómo trabajar en este caso? ¡Sí, todo es muy simple! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede realizar tanto antes de la primera acción como después, es decir, para deshacerse de las fracciones. Por lo tanto, el algoritmo será el siguiente:

  1. Deshazte de las fracciones.
  2. Expande los corchetes.
  3. Variables separadas
  4. Trae los gustos.
  5. Dividir por coeficiente.

¿Qué significa deshacerse de las fracciones? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas por denominador, es decir en todas partes en el denominador hay solo un número. Por lo tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, eliminaremos las fracciones.

Vamos a deshacernos de las fracciones en esta ecuación:

Tenga en cuenta: por "cuatro" todo se multiplica una vez, es decir Si tiene dos corchetes, esto no significa que cada uno de ellos deba multiplicarse por "cuatro". Nosotros escribimos:

[ left (2x + 1 right) left (2x-3 right) = left (<^ <2>> -1 right) cdot 4 ]

[2x cdot 2x + 2x cdot left (-3 right) +1 cdot 2x + 1 cdot left (-3 right) = 4 <^<2>>-4]

Hacemos la soledad de la variable:

Realizamos la reducción de dichos términos:

[- 4x = -1 izquierda | : left (-4 right) right. ]

Tenemos la solución final, ve a la segunda ecuación.

Aquí realizamos las mismas acciones:

[1 cdot 1 + 1 cdot 5x + left (-x right) cdot 1+ left (-x right) cdot 5x + 5 <^<2>>=5]

Eso, de hecho, es todo lo que quería decir hoy.

Puntos clave

Los hallazgos clave son los siguientes:

  • Conoce el algoritmo para resolver ecuaciones lineales.
  • Posibilidad de abrir corchetes.
  • No se preocupe si tiene funciones cuadráticas en algún lugar, muy probablemente, en el proceso de nuevas transformaciones se reducirán.
  • Las raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples, son de tres tipos: una raíz única, la recta numérica entera es una raíz, no hay raíces en absoluto.

Espero que esta lección te ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mejor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no está claro, vaya al sitio, resuelva los ejemplos presentados allí. Quédate con nosotros, ¡encontrarás muchas cosas más interesantes!

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Anécdota al tema. Un profesor se queja a un colega: qué estúpidos son mis alumnos. Una vez que lo explico, no lo entienden, la segunda vez que lo explico, no lo entienden nuevamente, la tercera vez que lo explico, ya estoy empezando a entenderlo, ¡pero no entienden todo!

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